확률에 관한 두 가지 수수께끼

확률의 역사는 곧 도박의 역사로 르네상스 시대부터 시작되었다. 당시 지중해 연안의 도시에는 일확천금을 꿈꾸는 상인들이 많이 모여들었는데 이들은 날씨가 나빠 출항하지 못할 때 심심함을 달래기 위하여 도박을 하곤 했다.이때 사람들이 그 승률의 대소를 미리 알기 위해 수학자와 함께 연구하기 시작하면서 확률의 사상은 싹텄다. 그러다가 수학자 카르다노가 도박에 수학을 적용하여 이론적으로 연구하기 시작했다.그러나 보다 본격적인 연구가 진행된 것은 17세기의 페르마와 파스칼에 의해서였다. 파스칼에게는 주사위 도박의 문제를 수학적으로 생각하여 늘 좋은 결과를 얻곤 했던 드 멜레라는 프랑스 친구가 있었다.이 드 멜레가 주사위 도박에서의 알쏭달쏭한 두 가지 문제를 수학자인 파스칼에게 물었는데 앞의 두 문제가 ‘드 멜레의 수수께끼’로 잘 알려져 있다.
1. 첫 번째 문제



드 멜레는 다음과 같이 생각하였다.'주사위 한 개를 4번 던지면 6의 눈이 적어도 한 번 나올 확률이 0.5보다 크다. 따라서 2개의 주사위를 던질 때는 눈이 나타나는 방법이 주사위 1개를 던질 때의 6배이므로 n=4 x 6=24(회)로 하면 던지는 사람에게 유리하다'그런데 위와 같이 실제로 실행을 해 보니 24회로는 던진 사람에게 손해가 있었다. 그러면 과연 n을 얼마로 하여야 던지는 사람에게 유리할까?이것이 드 멜레의 첫 번째 문제인데 수학적으로 계산해보자. 2개의 주사위를 n번 던져서 적어도 한 번 두 개 모두 6의 눈이 나올 확률은 1 - (35/36)n 이다. 따라서 1 - (35/36)n > 0.5 이 되면 던지는 사람에게 유리하다.

로그를 사용하여 이 식을 풀면 n>=25가 되어 n=24로는 손해보는 것이 당연하였다.

2. 두 번째 문제


앞의 2와 같은 내용의 편지를 받고 고민한 파스칼의 답변은 다음과 같다.'다음 한 판을 더 해서 A가 이긴다면 A는 3번이긴 것이므로 64피스톨을 가지게 된다. 그러나 만약 B가 이긴다면 A도 2번, B도 2번이긴 셈이므로 비기게 되어 각각 32피스톨씩을 가지게 되어 있다.나머지 32피스톨은 A나 B중 이기는 사람의 몫이 되겠지만 누가 이길지 모르고 A와 B중 이기는 사람의 몫이 되겠지만 누가 이길지 모르고 A와 B두 사람의 솜씨가 비슷하므로 이기거나 질 확률은 반반이다. 그러므로 A에게 32피스톨을 먼저 주고 그 나머지의 반인 16피스톨을 더 주면 된다. 결국 A는 48피스톨을, B는 16피스톨을 가지는 것이 가장 합리적이다.'

이 대답을 확률적 사고로 고쳐 표현해 보면 다음과 같다.먼저 A가 이 게임에서이길 확률을 구해 보자. A가 다음 번 게임에서 이길 확률도 질 확률도 0.5인데, 만약 다음 번 게임에서 A가 이기면 A는 B보다 먼저 3점을 따는 것이 되어 이 게임은 A의 승리가 된다.만약, 다음 번 게임에서 A가 지면 그 시점에서는 A도 2점, B도 2점을 얻은 것이 되어 게임은 끝나지 않는다. 이 경우 A가 이 게임에서 이기려면 그 다음 게임에서 A가 이겨야 하는데 일어날 확률은 0.5 X 0.5 = 0.25 이다.결국 A가 이 게임에서 이길 확률은 0.5 + 0.25 = 0.75 이고, B가 이길 확률은 0.25 이다.
따라서 내기 돈 64피스톨은
A: 64 0.75 = 48 , B = 64 0.25 = 16으로 분배하는 것이 가장 합리적이다.